decompose_matrix — Zerlegt eine Matrix.
decompose_matrix( : : MatrixID, MatrixType : Matrix1ID, Matrix2ID)
Der Operator decompose_matrix zerlegt die quadratische
Eingabematrix Matrix, die durch das Matrix Handle
MatrixID gegeben ist. Die Ergebnisse werden in zwei
generierten Matrizen Matrix1 und Matrix2
gespeichert und deren Matrix Handles Matrix1ID und
Matrix2ID werden zurückgegeben. Zugriff auf die
Elemente der Matrizen ist z.B. mit dem Operator
get_full_matrix möglich.
Der Typ der Eingabematrix Matrix kann über den Parameter
MatrixType gewählt werden. Die folgenden Werte stehen zur
Verfügung: 'general' für allgemeine, 'symmetric'
für symmetrische, 'positive_definite' für symmetrisch
positiv definite und 'tridiagonal' für tridiagonale
Matrizen.
Wenn MatrixType = 'general' oder
'tridiagonal' gewählt ist, wird eine LU Zerlegung
(Lower/Upper) der Form
vorgenommen. Die Ausgabematrix Matrix1 ist eine
untere Dreiecksmatrix mit Einheitsdiagonalelementen, deren Zeilen
vertauscht sind. Die Ausgabematrix Matrix2 ist eine obere
Dreiecksmatrix.
Beispiel für die Zerlegung einer allgemeinen Matrix:
Beispiel für die Zerlegung einer tridiagonalen Matrix:
Ist MatrixType = 'symmetric' gesetzt, wird eine
UDU^T Zerlegung (Upper/Diagonal/Upper) verwendet. Sie hat die Form
Hierbei ist die Ausgabematrix Matrix1 eine obere
Dreiecksmatrix, deren Zeilen vertauscht sind. Die Ausgabematrix
Matrix2 ist eine symmetrische Blockdiagonalmatrix mit
und Blöcken auf der
Hauptdiagonalen.
Beispiel für die Zerlegung einer symmetrischen Matrix:
Eine Cholesky Zerlegung wird berechnet, wenn MatrixType =
'positive_definite' gesetzt ist. Die Zerlegung hat die Form
wobei die Ausgabematrix Matrix1 eine untere Dreiecksmatrix
und Ausgabematrix Matrix2 eine obere Dreiecksmatrix
ist. Außerdem ist die Matrix Matrix2 die Transponierte der
Matrix Matrix1.
Beispiel für die Zerlegung einer positiv definiten Matrix:
Es ist zu beachten, dass in den Beispielen Unterschiede in der Bedeutung der Werte in den Ausgabematrizen zu finden sind: Wenn ein Wert als ganze Zahl dargestellt ist, z.B. 0 oder 1, ist der Wert dieses Elements per Definition dieser bestimmte Wert. Wenn der Wert als Gleitpunktzahl dargestellt ist, z.B. 0.0 oder 1.0, ist der Wert von dem Operator berechnet worden.
Wird MatrixType = 'symmetric' oder
'positive_definite' gewählt, so muss der obere
Dreiecksteil der Eingabematrix Matrix die relevante
Information der Matrix beinhalten. Der exakt untere Teil der Matrix
wird nicht verwendet. Wird MatrixType = 'tridiagonal'
gesetzt, wird nur die Hauptdiagonale und die beiden Nebendiagonalen
der Eingabematrix Matrix genutzt. Die anderen Teile der
Matrix werden nicht verwendet. Wenn der verwendete Teil der
Eingabematrix Matrix nicht vom spezifizierten Typ ist,
wird eine Fehlerbehandlung durchgeführt.
MatrixID (input_control) matrix → (handle)
Matrix Handle der Eingabematrix.
MatrixType (input_control) string → (string)
Matrixtyp der Eingabematrix.
Default: 'general'
Werteliste: 'general', 'positive_definite', 'symmetric', 'tridiagonal'
Matrix1ID (output_control) matrix → (handle)
Matrix Handle mit der Ausgabematrix 1.
Matrix2ID (output_control) matrix → (handle)
Matrix Handle mit der Ausgabematrix 2.
Sind die Parameterwerte korrekt, dann liefert
decompose_matrix den Wert 2 (
H_MSG_TRUE)
. Gegebenenfalls wird eine
Fehlerbehandlung durchgeführt.
get_full_matrix,
get_value_matrix
orthogonal_decompose_matrix,
solve_matrix
David Poole: „Linear Algebra: A Modern Introduction“; Thomson;
Belmont; 2006.
Gene H. Golub, Charles F. van Loan: „Matrix Computations“; The
Johns Hopkins University Press; Baltimore and London; 1996.
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