vector_to_fundamental_matrix_distortionT_vector_to_fundamental_matrix_distortionVectorToFundamentalMatrixDistortionvector_to_fundamental_matrix_distortionVectorToFundamentalMatrixDistortionVectorToFundamentalMatrixDistortion — Bestimmung der Fundamental-Matrix und des radialen
Verzeichnungskoeffizienten unter Verwendung vorgegebener
Punktkorrespondenzen sowie Rekonstruktion der 3D Raumpunkte.
Hierbei bezeichnen die verzerrten
Bildpunkte relativ zum Bildmittelpunkt.
vector_to_fundamental_matrix_distortionvector_to_fundamental_matrix_distortionVectorToFundamentalMatrixDistortionvector_to_fundamental_matrix_distortionVectorToFundamentalMatrixDistortionVectorToFundamentalMatrixDistortion nimmt also an, dass
der Hauptpunkt, d.h. das Zentrum der radialen Verzeichnungen, im
Bildmittelpunkt liegt.
Zu beachten bei den obigen Formeln ist die Position von Spalte bzw.
Zeile in den Punktkoordinaten. Da die Fundamental-Matrix die
projektive Beziehung zweier Stereobilder im 3D Raum wiedergibt, muss
die X/Y Notation mit dem Kamerakoordinatensystem konform sein.
(X,Y) Koordinaten entsprechen daher einem (Column,Row) Paar.
Für eine beliebige relative Lage der Kameras zueinander ist die
minimale Anzahl an Punktkorrespondenzen neun. MethodMethodMethodMethodMethodmethod ist
dann gleich 'linear'"linear""linear""linear""linear""linear" oder 'gold_standard'"gold_standard""gold_standard""gold_standard""gold_standard""gold_standard" zu
wählen. Sind die linke und rechte Kamera identisch und ist
zusätzlich die relative Lage zwischen den Kameras eine reine
Translation, so ist MethodMethodMethodMethodMethodmethod gleich 'trans_linear'"trans_linear""trans_linear""trans_linear""trans_linear""trans_linear"
oder 'trans_gold_standard'"trans_gold_standard""trans_gold_standard""trans_gold_standard""trans_gold_standard""trans_gold_standard" zu wählen. In diesem speziellen
Fall ist die minimale Anzahl an korrespondierenden Punkten nur vier.
Die Fundamental-Matrix wird so berechnet, dass ein Fehlermaß
minimiert wird. Um dieses Ergebnis zu erreichen, sind verschiedene
Algorithmen verfügbar. Welches Verfahren verwendet werden soll,
kann ebenfalls mittels des Parameters MethodMethodMethodMethodMethodmethod gesteuert
werden. Für MethodMethodMethodMethodMethodmethod gleich 'linear'"linear""linear""linear""linear""linear" bzw.
'trans_linear'"trans_linear""trans_linear""trans_linear""trans_linear""trans_linear" wird ein lineares Verfahren verwendet, das
einen algebraischen Fehler basierend auf obigen Epipolargleichungen
minimiert. Dieses Verfahren ist sehr schnell. Für den Fall der
reinen Translation (MethodMethodMethodMethodMethodmethod = 'trans_linear'"trans_linear""trans_linear""trans_linear""trans_linear""trans_linear")
liefert das lineare Verfahren genaue Ergebnisse für geringes bis
mittleres Rauschen der Punktkoordinaten und für die meisten
Verzeichnungen (außer sehr kleinen Verzeichnungen). Für eine
beliebige Lage der Kameras (MethodMethodMethodMethodMethodmethod = 'linear'"linear""linear""linear""linear""linear")
liefert das lineare Verfahren nur für sehr geringes Rauschen der
Punktkoordinaten und hinreichend große Verzeichnungen genaue
Ergebnisse. Für MethodMethodMethodMethodMethodmethod gleich 'gold_standard'"gold_standard""gold_standard""gold_standard""gold_standard""gold_standard"
bzw. 'trans_gold_standard'"trans_gold_standard""trans_gold_standard""trans_gold_standard""trans_gold_standard""trans_gold_standard" wird eine mathematisch
optimale, dafür aber langsamere, Optimierung durchgeführt, die den
geometrischen Reprojektionsfehler von rekonstruierten projektiven 3D
Punkten minimiert. In diesem Fall werden neben der
Fundamental-Matrix und dem radialen Verzeichnungskoeffizienten auch
die projektiven Koordinaten
(XXXXXx,YYYYYy,ZZZZZz,WWWWWw) der rekonstruierten
Punkte zurückgegeben. Für beliebige Lage der Kameras sollte im
allgemeinen MethodMethodMethodMethodMethodmethod = 'gold_standard'"gold_standard""gold_standard""gold_standard""gold_standard""gold_standard" gewählt
werden.
Falls die Methode 'gold_standard'"gold_standard""gold_standard""gold_standard""gold_standard""gold_standard" bzw.
'trans_gold_standard'"trans_gold_standard""trans_gold_standard""trans_gold_standard""trans_gold_standard""trans_gold_standard" verwendet wird und die Punkte mit
einem Operator wie points_foerstnerpoints_foerstnerPointsFoerstnerpoints_foerstnerPointsFoerstnerPointsFoerstner, der die Kovarianzmatrix
für jeden Punkt zurückliefert, extrahiert wurden, kann dies in der
Berechnung berücksichtigt werden, indem die Kovarianzen in
CovRR1CovRR1CovRR1CovRR1CovRR1covRR1, CovRC1CovRC1CovRC1CovRC1CovRC1covRC1, CovCC1CovCC1CovCC1CovCC1CovCC1covCC1 für die Punkte des
ersten Bildes und in CovRR2CovRR2CovRR2CovRR2CovRR2covRR2, CovRC2CovRC2CovRC2CovRC2CovRC2covRC2,
CovCC2CovCC2CovCC2CovCC2CovCC2covCC2 für die Punkte des zweiten Bildes übergeben werden.
Sind die Kovarianzen unbekannt und wird die Methode
'gold_standard'"gold_standard""gold_standard""gold_standard""gold_standard""gold_standard" bzw. 'trans_gold_standard'"trans_gold_standard""trans_gold_standard""trans_gold_standard""trans_gold_standard""trans_gold_standard"
verwendet, so werden zur Berechnung intern
Einheits-Kovarianzmatrizen angenommen. Falls 'linear'"linear""linear""linear""linear""linear" bzw.
'trans_linear'"trans_linear""trans_linear""trans_linear""trans_linear""trans_linear" verwendet wird oder die Kovarianzen
unbekannt sind, können in den Kovarianzparametern leere Tupel
übergeben werden.
Die Größe ErrorErrorErrorErrorErrorerror ist ein Gütemaß für die Schätzung der
Fundamental-Matrix und gibt den mittleren symmetrischen euklidischen
Abstand in Pixeln zwischen den Punkten und ihren korrespondierenden
Epipolarlinien an.
Richard Hartley, Andrew Zisserman: „Multiple View Geometry in
Computer Vision“; Cambridge University Press, Cambridge; 2003.
Olivier Faugeras, Quang-Tuan Luong: „The Geometry of Multiple
Images: The Laws That Govern the Formation of Multiple Images of a
Scene and Some of Their Applications“; MIT Press, Cambridge, MA;
2001.